Question

設△ABC的內角A，B，c所對的邊分別為a，b，c且acosC-

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）若a=1，△ABC的周長用角B表示并求周長取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由已知利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導公式即可得出；
（II）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導公式、正弦函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由acosC-

1

2

c=b，得sinAcosC-

1

2

sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=-cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=-

1

2

，
又∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2sinB

3

，c=

2sinC

3

．
l=a+b+c=1+

2

3

(sinB+sinC)=1+

2

3

(sinB+sin(A+B))
=1+

2

3

(

1

2

sinB+

3

2

cosB)=1+

2

3

sin(B+

π

3

)．
∵A=

2π

3

，∴B∈(0，

π

3

)，∴B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(B+

π

3

)∈(

3

2

，1]．
故△ABC的周長的取值范圍為(2，

2 3

3

+1]．

點評：本題考查了正弦定理、兩角和差的正弦公式、誘導公式、正弦函數(shù)的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．