【題目】已知函數(shù),.
(1)證明:不等式在恒成立;
(2)證明:在存在兩個極值點,
附:,,.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;
【解析】
(1),首先利用導數(shù)證明當時,總有,然后可得
(2)分和兩種情況討論,每種情況都要用導數(shù)求出的單調性.
(1),
設,易得在上為增函數(shù),
又,,
∴存在唯一,使得,
∴在時,,為減函數(shù),,
在時,,為增函數(shù),,
因此時,總有,為減函數(shù).
∴,從而原不等式得證.
(2),則,
在時,令,
則在上遞增.
又,.
∴存在唯一,使.
在時,,為減函數(shù),即為減函數(shù),
在時,,為增函數(shù),即為增函數(shù),
而,.
又,存在唯一的使得,
∴在時,,為減函數(shù),
在時,,為增函數(shù),故為一個極小值點.
另一方面,在時,由,
而,∴,
由(1)可知,∴在上恒成立,
又在上恒成立,∴是的極大值點,從而得證.
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【題目】已知函數(shù)
(1)當a=-2時,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)對任意的x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】農歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習慣,粽子又稱粽粒,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為2的正三角形構成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的表面積為________;該六面體內有一球,則該球體積的最大值為________.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)若,求的極坐標方程;
(2)若與恰有4個公共點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的極大值為,求實數(shù)a的值;
(2)當a=e時,若曲線與在處的切線互相垂直,求的值;
(3)設函數(shù),若>0對任意的x(0,1)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知正項數(shù)列的首項,其前項和為,且與的等比中項是,數(shù)列滿足:.
(1)求,并求數(shù)列的通項公式;
(2)記,,證明:.
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【題目】2020年春節(jié)突如其來的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā),一方有難八方支援,全國各地的白衣天使走上戰(zhàn)場的第一線,某醫(yī)院抽調甲、乙兩名醫(yī)生,抽調、、三名護士支援武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院,參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)其中選一名護士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院,其它都在第二醫(yī)院工作,則醫(yī)生甲和護士被選在第一醫(yī)院工作的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知拋物線,過點的直線與交于不同的兩點,且滿足,以為中點的線段的兩端點分別為,其中在軸上,在上,則_______,的最小值為____________
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