Question

【題目】已知函數(shù)

當(dāng)時(shí)，討論的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn)（2）

【解析】

（1）首先求，令，然后求，討論當(dāng)時(shí)，，判斷函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，同樣是判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值.

解：（1）.

令，，則,

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減，又，所以對(duì)時(shí)，，此時(shí)在不存在零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，取，

則，即.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，此時(shí)在存在唯一零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，在存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn).

（2）由已知得在上恒成立.

設(shè)，，則

因?yàn)?/span>時(shí)，所以，

設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，

又，，由零點(diǎn)存在定理，使得，即,，

且當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.

所以，

又在上單調(diào)遞減，而，所以，

因此，正整數(shù)的最大值為.