【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 若函數(shù)有零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ) 證明: 當(dāng)時(shí), .
【答案】(I);(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(I)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可得函數(shù)單調(diào)性,并求得函數(shù)的最小值,若函數(shù)有零點(diǎn),函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零,解不等式可得的范圍;(Ⅱ)將代入不等式化簡為,可構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為 ,最大值為.可證命題.
試題解析:
(Ⅰ)法1: 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由, 得.
因?yàn)?/span>,則時(shí), ;時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí), .
當(dāng), 即時(shí), 又, 則函數(shù)有零點(diǎn).
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法2:函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由, 得.
令,則.
當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
故時(shí), 函數(shù)取得最大值.
因而函數(shù)有零點(diǎn), 則.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(Ⅱ) 要證明當(dāng)時(shí), ,
即證明當(dāng)時(shí), , 即.
令, 則.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí), .
于是,當(dāng)時(shí), ①
令, 則.
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí), .
于是, 當(dāng)時(shí), ②
顯然, 不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.
故當(dāng)時(shí), .
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A.﹣3或7
B.﹣2或8
C.0或10
D.1或11
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線的方程;
(2)若不等式 對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且an+2=|an+1|﹣an , n∈N* , 記{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 則S100= .
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【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x﹣2ay+a2﹣24=0(a∈R)的圓心在直線2x﹣y=0上.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求圓C與直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)相交弦長的最小值.
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【題目】已知點(diǎn)P(2,0),及⊙C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)當(dāng)直線l過點(diǎn)P且與圓心C的距離為1時(shí),求直線l的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P的直線與⊙C交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|=4,求以線段AB為直徑的圓的方程.
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【題目】已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*).我們把使乘積a1a2a3…an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”,則在區(qū)間(1,2004)內(nèi)的所有優(yōu)數(shù)的和為( )
A.1024
B.2003
C.2026
D.2048
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【題目】定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù) .
(1)若f(x)是奇函數(shù),求m的值;
(2)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;
(3)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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