Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（

6

，1），離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（

6

，0），若A，B為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PA

•

PB

=-2，試問直線AB是否恒過定點(diǎn)，若恒過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c

a

=

2

2

，

6

a2

+

1

b2

=1，又a²=b²+c²，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，由根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件求出直線AB的方程為y=k（x-

2 6

3

），從而得到直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（

2 6

3

，0）．當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=

2 6

3

，也有

PA

•

PB

=-2．由此證明直線AB一定過定點(diǎn)（

2 6

3

，0）．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，①
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（

6

，1），∴

6

a2

+

1

b2

=1，②
又a²=b²+c²，③
∴由①②③聯(lián)立方程組解得a²=8，b²=c²=4，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，
代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y整理，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
由△＞0，得8k²+4-m²＞0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-8

2k2+1

，
∵點(diǎn)P（

6

，0），A，B為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PA

•

PB

=-2，
∴

PA

•

PB

=(x1-

6

)(x2-

6

)+y1y2
=(x1-

6

)(x2-

6

)+(kx1+m)(kx2+m)
=(k2+1)x1x2+(km-

6

)(x1+x2)+6+m2=-2，
∴(k2+1)•

2m2-8

2k2+1

+(km-

6

)•

-4km

2k2+1

+8+m²=0，
整理，得（

3

m+2

2

k）²=0，
解得m=-

2 6

3

k，滿足（*）
∴直線AB的方程為y=k（x-

2 6

3

），
∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（

2 6

3

，0）．
②當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=

2 6

3

，
此時(shí)A（

2 6

3

，

2 6

3

），B（

2 6

3

，-

2 6

3

），也有

PA

•

PB

=-2，
綜上，直線AB一定過定點(diǎn)（

2 6

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與證明，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．