Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，且對任意正整數(shù)，都為中等于的項的個數(shù)，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）請列舉出三個數(shù)列，每個數(shù)列只寫出其前5項；

（2）若數(shù)列為一個數(shù)列，證明：，都有；

（3）若數(shù)列為一個數(shù)列，求集合中元素個數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）證明見解析；（3）1010.

【解析】

（1）根據(jù)X數(shù)列的定義進行求解即可

（2）根據(jù)數(shù)列{an}為一個X數(shù)列，討論n是奇數(shù)和偶數(shù)，分別進行證明即可

（3）根據(jù)數(shù)列{an}為一個X數(shù)列，結(jié)合不等式以及集合元素的關(guān)系進行求解即可

（1）；； .

（2）由題意可知在中，值為的相鄰項至多相鄰兩項，且至多出現(xiàn)一次.

①當(dāng)為奇數(shù)時，這組數(shù)中，至多有1組數(shù)均為,

所以此時.

②當(dāng)為偶數(shù)時，若，已知，所以顯然成立 ，

若，當(dāng)，則依次為；當(dāng)，則依次為

所以中必有兩項為1，且相鄰，

所以這組數(shù)中，

若，則這組數(shù)中，每組至多有一項等于，

又中有兩項等于，所以此時，

若，則這組數(shù)中，至多有一組全等于，

又中至多有一項等于，此時，

綜上，，都有.

（3）由（2）可知，，，

又由題意可知，所以，且，，

所以，

所以集合中元素個數(shù)不大于10101 ，

易知當(dāng)時，數(shù)列的前2018項為.

此時中元素個數(shù)等于1010，

所以若數(shù)列為一個數(shù)列，則集合中元素個數(shù)最大值為1010.