Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P-BC-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD的中點(diǎn)M，由三角形的中位線定理，結(jié)合已知條件，易證明四邊形MEBF是平行四邊形，且BE∥MF，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；
（2）連接BD，由已知中底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，可得△ABD為等邊三角形，又由PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，及等邊三角形“三線合一”可得：DF⊥AB，PA⊥DF，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB；
（3）過點(diǎn)A做AH⊥CB延長(zhǎng)線于H，可得∠PHA為二面角P-BC-A的平面角，解△PHA即可求出二面角P-BC-A的大�。�
解答：證明：（1）取PD的中點(diǎn)M，
∵E是PC的中點(diǎn)
∴ME是△PCD的中位線
∴ME∥FB
∴四邊形MEBF是平行四邊形∴BE∥MF
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）連接BD，易得△ABD為等邊三角形
又由F為AB的中點(diǎn)
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF?平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
解：（3）過點(diǎn)A做AH⊥CB延長(zhǎng)線于H，因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA為二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中，所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小為30°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是證得BE∥MF，（2）的關(guān)鍵是說不得DF⊥平面PAB，（3）的關(guān)鍵是確定出∠PHA為二面角P-BC-A的平面角．