Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E、F、G分別為AD、PC、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：FG∥面ABCD
（2）求面BEF與面BAP夾角的大小．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镕、G分別為PC、PD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥CD并且FG=

1

2

CD．根據(jù)線面平行的判斷定理可得FG∥平面ABCD．
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量的基本運(yùn)算分別求出面BPA的法向量為：

AD

=(0，2

2

，0)，面BEF的法向量為

m

=（1，

2

，-1），再結(jié)合向量的運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（1）證明：∵F、G分別為PC、PD的中點(diǎn)，
∴在△PCD中，F(xiàn)G∥CD并且FG=

1

2

CD．
又因?yàn)镈C?平面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，
所以FG∥平面ABCD．
（2）分別以AB、AD、AP為空間坐標(biāo)系的x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系B（2，0，0），E（0，

2

，0）

F（1，

2

，1），P（0，0，2），D（0，2

2

，0）
面BPA的法向量為：

AD

=(0，2

2

，0)，設(shè)面BEF的法向量為

m

=（x，y，z）
所以

m • BE =0 m • BF =0

，即

-2x+ 2 y=0 -x+ 2 y+z=0

，
令y=

2

，∴m=（1，

2

，-1）
∴面BAP與面BEF的夾角θ的余弦為：cosθ=

m • AD

| m || AD |

=

4

4 2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

．
所以面BEF與面BAP夾角的大小為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得到相片關(guān)系以及便于建立坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角、空間距離等問題．