Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求證：A₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）若P為線段B₁C₁的中點，求四棱錐P-AA₁B₁B的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，得到A₁C₁⊥A₁B₁，根據(jù)頂點在A₁底面ABC上的射影恰為點B，得到A₁B⊥AC，利用線面垂直的判斷定理得到證明；
（2）證明PR⊥平面AA₁B₁B，利用錐體的體積公式，即可求出四棱錐P-AA₁B₁B的體積．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∵頂點在A₁底面ABC上的射影恰為點B，
∴A₁B⊥AC，
∴A₁B⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面ABA₁B₁；
（2）解：∵SAA1B1B=AB×A₁B=2×2=4，
取A₁B₁的中點R，連接PR，則PR∥A₁C₁，PR=

1

2

A₁C₁=1，
∵A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴PR⊥平面AA₁B₁B，
∴點P到平面AA₁B₁B的距離d=1，∴VP-AA1B1B=

1

3

×SAA1B1B×d=

4

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及錐體體積的計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．