已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面CDE⊥平面ABC
（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4，求幾何體ABCD的體積．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定
專題：計(jì)算題
分析：（1）先證出直線AB與平面上的兩條相交直線垂直，得到線面垂直，而線又在一個(gè)平面上，得到面面垂直．
（2）要求的幾何體是一個(gè)三棱錐，線段CD的長(zhǎng)是三棱錐C-ABD的高，做出對(duì)應(yīng)的底面的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式做出結(jié)果
解答： 解：（1）證明：∵BC=AC，E為AB的中點(diǎn)，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E為AB的中點(diǎn)
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，
∴CD⊥BD，
在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，
∴CD⊥AD，
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD．所以線段CD的長(zhǎng)
是三棱錐C-ABD的高
又在△ADB中，DE=
16-
9
4
=
55
2

∴VC-ABD=
1
3
×
1
2
×3×
55
2
×3=
3
55
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的點(diǎn)線面之間的關(guān)系的證明，錐體體積的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練所學(xué)的判定定理和性質(zhì)定理．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B，且AB=AC=A1B=2．
（1）求證：A1C1⊥平面AA1B1B；
（2）若P為線段B1C1的中點(diǎn)，求四棱錐P-AA1B1B的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求與曲線y=
3x2
在點(diǎn)P（8，4）處的切線垂直的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題p：曲線
x2
a-1
+
y2
5-a
=1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；命題q：函數(shù)f（x）=x2-ax+9在R上取值恒為正；若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合A={x|x2-3x-4≥0}，B={x|2a≤x≤a+2}．
（Ⅰ）若A∩B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示的曲線C由曲線C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0，y≥0）和曲線C2：x2+y2=a2（y＜0）組成，已知曲線C1過(guò)點(diǎn)（
3
，
1
2
），離心率為
3
2
，點(diǎn)A，B分別為曲線C與x軸、y軸的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求曲線C1和C2的方程；
（2）若點(diǎn)Q是曲線C2上的任意一點(diǎn)，求△QAB面積的最大值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)F為曲線C1的右焦點(diǎn)，直線l；y=kx+m與曲線C1相切于點(diǎn)M，且與直線x=
4
3
3
交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P做MN，垂足為H，求證|FH|2=|MH|+|HN|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
2
3
（x∈R），求：
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=1，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥面AMD；
（2）求三棱錐C-AMD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的圖形的一個(gè)最高點(diǎn)為（2，
2
），由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)時(shí)曲線經(jīng)過(guò)（6，0），求這個(gè)函數(shù)的解析式．

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