Question

在△ABC中，B=90°，AC=

15

2

，D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上，使

AD

DB

=

AE

EC

=2，DE=3，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角（如圖所示）

求：（1）異面直線(xiàn)BC與AE所成角的余弦值
（2）二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明DE∥BC，可得∠AED（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)BC與AE所成角；
（2）過(guò)D作DF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，先證得∠AFD為二面角A-BC-B的平面角，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出其正切值即得．

解答： 解：（1）∵

AD

DB

=

AE

EC

=2，
∴DE∥BC，
∴∠AED（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)BC與AE所成角，
∵DE=3，AE=5，
∴cos∠AED=

3

5

；
（2）過(guò)D作DF⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AF．
∵A-DE-B是直二面角，AD⊥DE，∴AD⊥底面DBCE，
由三垂線(xiàn)定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A-BC-B的平面角．
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，DB=2，EC=

5

2

，
因此sinBCE=

DB

EC

=

4

5

．
從而在Rt△DFE中，DE=3，DF=DEsinDEF=DEsinBCE=

12

5

．
在Rt△AFD中，AD=4，tan∠AFD=

AD

DF

=

5

3

．
因此，二面角A-EC-B的正切值為

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線(xiàn)及其所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．