Question

已知函數(shù)h（x）=ax-3-lnx-

1-a

x

，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0）．對(duì)a分類討論：當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，當(dāng)a=

1

2

時(shí)，當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0）．
當(dāng)a=0時(shí)，h′（x）=-

1

x

+

1

x2

=

1-x

x2

，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得
1＜x，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a≠0時(shí)，h′（x）=

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

．
當(dāng)a≥1時(shí)，令h′（x）＞0，解得1＜x，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，0＜

1-a

a

＜1，令h′（x）＞0，解得1＜x，或0＜x＜

1-a

a

，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得

1-a

a

＜x＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，h′(x)=

(x-1)2

2x2

≥0，此時(shí)函數(shù)h（x）在x＞0單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，

1-a

a

＞1，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞

1-a

a

，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得1＜x＜

1-a

a

，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，

1-a

a

＜0＜1，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得1＜x，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間(0，

1-a

a

)，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間(

1-a

a

，1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．