【題目】已知點M，N，P，Q在同一個球面上，且，則該球的表面積是，則四面體MNPQ體積的最大值為（ ）

A.10B.C.12D.5

【答案】A

【解析】

由已知可得△PNM為直角三角形,畫出圖形,可知要使四面體MNPQ體積取最大值,則球心O在過PM中點O′與面MNP垂直的直線上,由球的表面積求得半徑,利用勾股定理求出三棱錐的高,可得四面體MNPQ體積的最大值.

如圖,

由MN=3,NP=4,MP=5,

可知，所以∠PNM=90°

設四面體MNPQ的外接球的半徑為R,由球的表面積是,

得,即R.

要使四面體MNPQ體積取最大值,

則球心O在過PM中點O′與面MNP垂直的直線上,

設QO′=h.

在Rt△OO′P中,OP2=OO′2+O′P2,

∴R2=(h﹣R)2,即,得h=5,

∴四面體MNPQ體積的最大值為.

故選：A.

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