【題目】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線平面,分別是的中點(diǎn).

1)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;

2)設(shè)(1)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線所成的角為,二面角的大小為,求證:.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;

【解析】

(1)直線平面PAC. 連接EF,利用三角形的中位線定理可得,EFAC,再利用線面平行的判定定理即可得到平面ABC,再由線面平行的性質(zhì)定理可得EF,再利用線面平行的判定定理即可證明直線平面PAC;

(2)點(diǎn)為原點(diǎn),向量所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量和直線的方向向量可得出線面角,兩個(gè)直線的方向向量可得出線線角,兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角,從面即可證明結(jié)論.

(1)直線平面,證明如下:

連接EF,因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn),所以EFAC,

平面,且平面,

所以平面,

平面,且平面平面

所以EF,

又因?yàn)?/span>平面平面,

所以直線平面

(2) 由題意得:,作,且,

連接,由(1)可知交線即為直線,

點(diǎn)為原點(diǎn),向量所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系( 如圖)

設(shè),則有

所以:,

又取平面的一個(gè)法向量為,

,

設(shè)平面的法向量為,

所以由可得,令,

,

,

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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間隔時(shí)間(分鐘)

10

11

13

12

15

14

侯車人數(shù)(人)

23

25

29

26

31

28

調(diào)查小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

1)求選取的2組數(shù)據(jù)不相鄰的概率;

2)若選取的是前兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)后四組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差均不超過1人,則稱為最佳回歸方程,在(2)中求出的回歸方程是否是最佳回歸方程?若規(guī)定一輛公交車的載客人數(shù)不超過35人,則間隔時(shí)間設(shè)置為18分鐘,是否合適?

參考公式:.

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在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為).

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