Question

自駕游從A地到B地有甲乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段，假設(shè)這三條路段堵車與否相互獨立，這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示．
表1：

	CD段	EF段	GH段
堵車概率	x	y	1 4
平均堵車時間 （單位：小時）	a	2	1

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率x在（

2

3

，1）上變化，y在（0，

1

2

）上變化．
在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路政局為了估計CD段平均堵車時間，調(diào)查了100名走甲線路的司機(jī)，得到表2數(shù)據(jù)．
表2：

堵車時間（單位：小時）	頻數(shù)
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24

（Ⅰ）求CD段平均堵車時間a的值；
（Ⅱ）若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用組中值，可求CD段平均堵車時間a的值；
（Ⅱ）求出走乙路線花汽油費的數(shù)學(xué)期望是40y+550元，可得選擇走甲線路應(yīng)滿足（550+4y）-[500（1-x）+（500+60）x]≥0，即6x-4y-5≤0，利用面積之比，求出選擇走甲線路的概率．

解答： 解：（Ⅰ）a=0.5×

8

100

+1.5×

6

100

+2.5×

38

100

+3.5×

24

100

+4.5×

24

100

=3；
（Ⅱ）在EF路段多花汽油費的數(shù)學(xué)期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油費的數(shù)學(xué)期望是20×1×

1

4

=5元，
∵EF，GH路段堵車與否相互獨立，
∴走乙路線多花汽油費的數(shù)學(xué)期望是40y+5元，
∴走乙路線花汽油費的數(shù)學(xué)期望是40y+550元，
∴選擇走甲線路應(yīng)滿足（550+4y）-[500（1-x）+（500+60）x]≥0，即6x-4y-5≤0，
∵x在（

2

3

，1）上變化，y在（0，

1

2

）上變化，
∴選擇走甲線路的概率為

(1- 2 3 )• 1 2 - 1 2 (1- 5 6 )• 1 4

(1- 2 3 )• 1 2

=

7

8

點評：本題考查概率的計算，考查面積的計算，屬于中檔題．