【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點(diǎn),求的值;
②當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上沒有零點(diǎn),求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且,求證: 當(dāng)時(shí),.
【答案】(1)①;②;(2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)①由題意切線斜率,又切線方程;②當(dāng),因?yàn)?/span>.
然后利用分類討論思想對(duì)和分情況討論的:;(2)由題意得,從而原命題等價(jià)于設(shè),然后利用導(dǎo)數(shù)工具證明.
試題解析:
(1)①由題意,得,所以函數(shù)在處的切線斜率,又,所以函數(shù)在處的切線方程,將點(diǎn)代入,得.
②當(dāng),可得,因?yàn)?/span>.
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,所以只需,解得,從而當(dāng)時(shí),由,解得
,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增, 所以函數(shù)在上有最小值為,令,解得.綜上所述,.
(2)由題意,,而,等價(jià)于
,則,且,
令,則,因?yàn)?/span>,所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增,于是,從而函數(shù)在上單調(diào)遞增,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】語文成績(jī)服從正態(tài)分布,數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下:
(I)如果成績(jī)大于135的為特別優(yōu)秀,這500名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人?(假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的)
(II)如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人,從(I)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人,設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(附參考公式)若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,假命題是_________ (填序號(hào)).
①經(jīng)過定點(diǎn)P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;
②經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用
方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示;
③與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程表示;
④經(jīng)過點(diǎn)Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若點(diǎn)在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若點(diǎn)在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】眾所周知,乒乓球是中國的國球,乒乓球隊(duì)內(nèi)部也有著很嚴(yán)格的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制,為了參加國際大賽,種子選手甲與三位非種子選手乙、丙、丁分別進(jìn)行一場(chǎng)內(nèi)部對(duì)抗賽,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì),甲獲勝的概率分別為,,,且各場(chǎng)比賽互不影響.
(1)若甲至少獲勝兩場(chǎng)的概率大于,則甲入選參加國際大賽參賽名單,否則不予入選,問甲是否會(huì)入選最終的大名單?
(2)求甲獲勝場(chǎng)次的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在五棱錐中,平面,∥,∥,∥,, ,,是等腰三角形.
(1)求證:平面平面;
(2)求側(cè)棱上是否存在點(diǎn),使得與平面所成角大小為,若存在,求出點(diǎn)位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn);命題:.
(1)若為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題,為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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