Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（III）證明：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{{n（{n-1}）}}{4}（{N∈{N_+}且n≥2}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），而f′（x）=$\frac{1}{x-1}$-k．能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（Ⅰ）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$+1），由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明（n∈N^*且n＞1）．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（t）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（t）=$\frac{1}{x-1}$-k．
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（t）=$\frac{1}{x-1}$-k＞0，
f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，若x∈（0，$\frac{1}{k}$+1）時(shí)，有f′（x）＞0，
若x∈（$\frac{1}{k}$+1，+∞）時(shí)，有f′（x）＜0，
則f（x）在（0，$\frac{1}{k}$+1）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{k}$+1，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
而f（2）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（Ⅰ）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$+1），要使f（x）≤0恒成立，
則f（$\frac{1}{k}$+1）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1；
（Ⅲ）當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（2，+∞）上是減函數(shù)，f（2）=0，
即ln（x-1）＜x-1-1在x∈（2，+∞）上恒成立，
令x-1=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），
∴$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*且n＞1）
∴$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$，
即：$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n（n-1）}{4}$（n∈N^*且n＞1）成立．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實(shí)數(shù)的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．