Question

16．直線l過(guò)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$的取值范圍為（　�。�

• A． {1}
• B． （0，1]
• C． [1，+∞）
• D． $[{\frac{1}{2}，1}]$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過(guò)F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$答案可得．

解答 解：易知F坐標(biāo)（1，0）準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)過(guò)F點(diǎn)直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡(jiǎn)后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁x₂=1，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線關(guān)系，常用拋物線的定義來(lái)解決．