Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-3，0），B（3，0），動點C（x，y），若直線AC，BC的斜率k_AC，k_BC滿足條件${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）已知${F_1}（-\sqrt{5}，0），{F_2}（\sqrt{5}，0）$，問：曲線C上是否存在點P滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$？若存在求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出直線AC，BC的斜率k_AC，k_BC，通過${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$．求出動點C的軌跡方程．
（2）利用數(shù)量積為0，求出P的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，求出交點坐標(biāo)即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）${k_{AC}}=\frac{y}{x+3}$（x≠-3），${k_{BC}}=\frac{y}{x-3}$（x≠3）
又${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$，∴$\frac{y}{x+3}•\frac{y}{x-3}=-\frac{4}{9}$（3分）
化簡整理得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$（x≠±3）（6分）
（2）設(shè)曲線C上存在點P（x，y）滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{5}-x，-y）$   $\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{5}-x，-y）$
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x^2}-5+{y^2}=0$（9分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=5\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=\frac{9}{5}\\{y^2}=\frac{16}{5}\end{array}\right.$（12分）
∴存在四個點滿足條件，它們是：$（{\frac{3}{5}\sqrt{5}，\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{-\frac{3}{5}\sqrt{5}，\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{\frac{3}{5}\sqrt{5}，-\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{-\frac{3}{5}\sqrt{5}，-\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$（14分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，圓錐曲線之間的關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力．