Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{3x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（{a_n}）（n∈{N^*}）$．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用函數(shù)性質(zhì)得${a}_{n+1}=f（{a}_{n}）=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，從而$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，由此能證明數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，能求出a_n．
（3）a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}×\frac{1}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），利用裂項求和法能求出S_n．

解答 （1）證明：∵函數(shù)$f（x）=\frac{x}{3x+1}$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（{a_n}）（n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n+1}=f（{a}_{n}）=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=3，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
（3）解：∵a_na_n+1=$\frac{1}{3n-2}×\frac{1}{3n+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$
=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．