Question

13．已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|ax²+bx+c≤0，a，b，c∈R，ac≠0}，若A∩B=（3，4]，A∪B=R，則$\frac{b^2}{a}+\frac{a}{c^2}$的最小值是（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求出不等式的解，根據(jù)集合關(guān)系求出a，b，c的值，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：A={x|x²-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，
∵A∩B=（3，4]，A∪B=R，
∴-1，4是方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，且a＞0，
則-1+4=-$\frac{a}$=-3，即b=3a，
-1×4=$\frac{c}{a}$，即c=-4a，
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a}{c^2}$=9a+$\frac{1}{16a}$≥2$\sqrt{9a•\frac{1}{16a}}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)9a=$\frac{1}{16a}$，即a=$\frac{1}{12}$時(shí)，取等號，
故最小值為$\frac{3}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，根與系數(shù)的關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a，b，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．