Question

已知函數(shù)h（x）與函數(shù)f₁（x），f₂（x）的定義域均相同．如果存在實數(shù)m，n使得h（x）=m•f₁（x）+n•f₂（x），那么稱h（x）為函數(shù)f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)，其中m，n稱為生成系數(shù)．
（1）h（x）是f（x）=x²+x，g（x）=x+2在R上生成的二次函數(shù)，若h（x）為偶函數(shù)，求h（

2

）；
（2）已知h（x）是f₁（x）=x（x＞0），f₂（x）=

1

x

（x＞0）的生成函數(shù)，兩個生成系數(shù)均為正數(shù)，且函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標(biāo)為（2，8）；
i）求h（x）的解析式
ii）已知正實數(shù)x₁，x₂滿足x₁+x₂=1，．問是否存在最大的常數(shù)m，使不等式h（x₁）h（x₂）≥m對滿足條件的任意x₁，x₂恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）易知，生成函數(shù)h（x）是一個二次函數(shù)，結(jié)合該函數(shù)為偶函數(shù)，可知對稱軸是y軸，所以-

b

2a

=0，依此列出m，n的一個關(guān)系式，代入h(

2

)可化簡求值．
（2）（i）此文較簡單，最低點即為最小值點，結(jié)合基本不等式可解決問題；
（ii）先假設(shè)存在符合題意的m，實際上本題還是一個不等式恒成立問題，因此構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合基本不等式、函數(shù)思想求其最值，只要是在相應(yīng)區(qū)間上能找到最值，則即存在滿足題意的m值．

解答： 解：（1）設(shè)h（x）=mf（x）+ng（x），則h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n（m≠0），
因為h（x）為一個二次函數(shù)，且為偶函數(shù)，
所以二次函數(shù)h（x）的對稱軸為y軸，即x=-

m+n

2m

=0，所以n=-m，則h（x）=mx²-2m，則h(

2

)=0
（2）i）由題意，設(shè)兩個生成系數(shù)為正數(shù)a，b．則h(x)=ax+

b

x

  (x＞0)，
由基本不等式得h(x)=ax+

b

x

≥2

ab

，于是h（x）當(dāng)x=

b a

時取得最小值2

ab

．
由題意得：

b a =2 2 ab =8

，解得

a=2 b=8

，所以h(x)=2x+

8

x

  (x＞0)．
ii）假設(shè)存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
設(shè)u=h(x1)h(x2)=4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)=4x1x2+

64

x1x2

+16(

x1

x2

+

x2

x1

)
=4x1x2+

64

x1x2

+16•

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=4x1x2+

64

x1x2

+16•

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=4x1x2+

80

x1x2

-32．
令t=x₁x₂，則t=x1x2≤(

x1+x2

2

)2=

1

4

，即t∈(0，

1

4

]，同時u=4t+

80

t

-32，t∈(0，

1

4

]．
而u=4t+

80

t

-32在t∈(0，

1

4

]上單調(diào)遞減，u≥u(

1

4

)=289，
故存在最大的常數(shù)m=289

點評：本題充分考查了函數(shù)思想、基本不等式在不等式恒成立問題中的應(yīng)用，要注意解題過程中函數(shù)思想的應(yīng)用．此題有一定難度，屬于能力題．