Question

定義數(shù)列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．證明：
（Ⅰ）對(duì)于n∈N^*，恒有a_n＞1成立；
（Ⅱ）當(dāng)n＞2且n∈N^*，有a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1成立；
（Ⅲ）1-

1

22014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）利用數(shù)學(xué)歸納法、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明結(jié)論成立；
（Ⅱ）由a_n+1=a_n²-a_n+1得a_n+1-1=a_n（a_n-1），即當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=a_n-1（a_n-1），再給n=2、3、…、n列出式子，由迭代法進(jìn)行證明結(jié)論成立；
（Ⅲ）由

an+1-1=an(an-1)

得

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，利用裂項(xiàng)相消法

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

化簡(jiǎn)后可證明右邊，由題意得a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，判斷出數(shù)列是遞增數(shù)列，由（Ⅱ）的結(jié)論化簡(jiǎn)，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s可證明左邊．

解答： 證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2＞1成立，
當(dāng)k≥2時(shí)，假設(shè)a_k＞1成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閍_k+1=a_k²-a_k+1=(ak-

1

2

)2+

3

4

在（1，+∞）遞增，
所以a_k+1＞1也成立，
綜上得，對(duì)于n∈N^*，恒有a_n＞1成立；
（Ⅱ）由a_n+1=a_n²-a_n+1得，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1=a_n-1（a_n-1），
則a₂-1=a₁（a₁-1），a₃-1=a₂（a₂-1），…，
a_n+1-1=a_n（a_n-1），
由以上各式迭代得，a_n+1-1=a_na_n-1…a₂a₁（a₁-1），
∵a₁=2，∴a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1；
（Ⅲ）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，且a₁=2，
∴a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，
即a_n+1＞a_n，則數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∵

an+1-1=an(an-1)

，∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=（

1

a1-1

-

1

a2-1

）+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

a2014-1

-

1

a2015-1

）
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

=1-

1

a2015-1

＜1，
由（Ⅱ）得，a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1，
∴a₂₀₁₅-1=a₂₀₁₄a₂₀₁₃…a₂a₁，
∴1-

1

a2015-1

=1-

1

a1a2…a2014

，
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，且a₁=2，
∴1-

1

a1a2…a2014

＞1-

1

a1a1…a1

=1-

1

22014

，
綜上得，1-

1

22014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜1，原不等式得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，迭代法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，利用作差法：a_n+1-a_n，判斷出數(shù)列的單調(diào)性，以及利用放縮法證明不等式，綜合性強(qiáng)，難度大，考查了較強(qiáng)的邏輯推理能力．