Question

等差數(shù)列{a_n}的公差d不為0，S_n是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：
①若d＞0，且S₃=S₈，則S₅和S₆都是{S_n}中的最小項(xiàng)；
②給定n，對(duì)于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n；
③若d＜0，則{S_n}中一定有最大的項(xiàng)；
④存在k∈N₊，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同號(hào)；
⑤S₂₀₁₃＞3（S₁₃₄₂-S₆₇₁）．
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)于①，由求和公式，推出a₆=0，得a₁＜0，d＞0，即可判斷；對(duì)于②，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可判斷；
對(duì)于③，當(dāng)d＜0時(shí)，運(yùn)用求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，即可判斷；
對(duì)于④，由等差數(shù)列的定義，即可判斷；對(duì)于⑤，由每隔n項(xiàng)求和成等差數(shù)列，即S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差數(shù)列，即可判斷．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)d＞0，且S₃=S₈時(shí)，可得a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，即5a₆=0，a₆=0，
則S₅和S₆都是{S_n}中的最小項(xiàng)，故①對(duì)；
對(duì)于②，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得給定n，對(duì)于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)d＜0時(shí)，S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知S_n中一定有最大項(xiàng)，故③正確；
對(duì)于④，a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符號(hào)相反，故④不正確；
對(duì)于⑤，∵S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差數(shù)列，∴2（S₁₃₄₂-S₆₇₁）=S₆₇₁+（S₂₀₁₃-S₁₃₄₂）
可得S₂₀₁₃=3（S₁₃₄₃-S₆₇₁），故⑤不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)和求和，以及等差數(shù)列的等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和求和的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．