Question

已知球的直徑PQ=4，A、B、C是該球球面上的三點，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，△ABC是正三角形，則棱錐P-ABC的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意確定棱錐P-ABC是正三棱錐，作出過直徑PQ及點C的平面截出的三角形，從而解出體積．

解答： 解：棱錐P-ABC為正三棱錐，如圖是球的一個切面的一部分，
∵PQ=4，=∠CPQ=30°，
∴正三棱錐P-ABC的高PD=PC×cos30°
=PQ×cos30°×cos30°=4×

3

2

×

3

2

=3，
底面ABC的高為

3

2

CD=

3

2

×PQ×cos30°×sin30°=

3 3

2

，
底面邊長為

3 3

2

÷

3

2

=3，
則底面面積為S=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，
則其體積為V=

1

3

×S×PD=

1

3

×

9 3

4

×3=

9 3

4

，
故答案為：

9 3

4

．

點評：考查了學(xué)生的空間想象力，及作圖能力，注意量的相等．