Question

【題目】已知函數(shù)，其中a為實數(shù).

（1）當a=-1時，求函數(shù)y=f(x)的零點；

（2）若f(x)在（-2,2）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）對于給定的實數(shù)a，若存在兩個不相等的實數(shù)根，，（<且≠0）使得f()=f(),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)y=f(x)的零點為或；（2）見解析

【解析】

（1）直接解方程即得函數(shù)y=f(x)的零點為或；（2）由題得，利用分段函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的圖象分析即得解；（3）對分三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的圖象分析得解.

（1），

所以或，

所以或，

所以或.

所以函數(shù)y=f(x)的零點為或.

（2）由題得，二次函數(shù)的對稱軸為，

當即時，由題得，即.因為，所以；

當即時，函數(shù)在（-2,2）上為增函數(shù)，所以；

當即時，由題得，所以，所以.

綜上，所以實數(shù)a的取值范圍為.

（3）當時，，

(因為<且≠0，所以不能取等)

當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以不滿足題意；

當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

所以，令，

①若，則，由知且

所以

所以函數(shù)M在上是增函數(shù)，

所以，

所以此時.

②若，則，則，

所以，因為，，所以

，

因為，所以，

所以，

令，所以

所以，

綜上，當時，；當時，不存在；當時，.