Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x²-a+1）e^x，g（x）=（x²-2）e^x+2．
（1）若f（x）在[-3，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個不同的極值點m，n（m＜n），且2（m+n）≤m-1，記F（x）=e²f（x）+g（x），求F（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，對單調(diào)性分類求解
（2）最值問題化為單調(diào)性問題，需求出變量m的范圍，進而確單調(diào)區(qū)間，求出最值．

解答 解：（1）由題得
f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)
則f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立
∴a≤0，
若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)
則f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立
即x²+2x-a+1≤0
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立
∴a≥4
綜上，若函數(shù)f（x）在[-3，1]上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）
（2）令f′（x）=0
∴x²+2x-a+1=0
∵f（x）有兩個不同的極值點
∴△=4-4（1-a）=4a＞0，
即a＞0，
且由韋達定理可知：m+n=-2，mn=1-a（m＜n），
∵2（m+n）≤m-1
∴-3≤m，
∵m+n=-2，m＜n，
∴m＜-1，
∴-3≤m＜-1
∴F（x）=（x²-a+1）e^x+2+（x²-2）e^x+2=（2x²-a-1）e^x+2
∴F（m）=（2m²-a-1）e^m+2=（m²-2m-2）e^m+2
∴F′（m）=（m²-4）e^m+2
∴F（m）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1）上單調(diào)遞減
∴F_max（m）=F（-2）=6．

點評 此題分類多，綜合性強，需對導(dǎo)數(shù)進行充分理解