Question

7．若P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂為其兩個焦點，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=2α，則橢圓的離心率為2cosα-1．

Answer 1

分析 依據(jù)橢圓的定義2a=|PF₁|+|PF₂|，2c=|F₁F₂|，又由e=$\frac{2c}{2a}$，在△PF₁F₂中解此三角即可得證．

解答 證明：在△PF₁F₂中，由正弦定理知$\frac{|P{F}_{1}|}{sin2α}=\frac{|P{F}_{2}|}{sinα}=\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin（π-3α）}$．
由比例的性質(zhì)得$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{sin3α}=\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{sin2α+sinα}$⇒e=$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}$=$\frac{sin3α}{sin2α+sinα}$
=$\frac{sinαcos2α+cosαsin2α}{sinα+2sinαcosα}$=$\frac{4co{s}^{2}α-1}{2cosα+1}$=2cosα-1．
故答案為：2cosα-1．

點評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．恰當?shù)乩�用比例的性質(zhì)有事半功倍之效．