Question

已知A（-2，2）、B（2，1）、C（-2，-2），點P（x，y）在△ABC內(nèi)部及其邊界，若目標函數(shù)z=mx+ny的最大值不大于6，則mn的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應用,基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用線性規(guī)劃的特性可知，z=mx+ny的最值一定在端點即A，B，C三點之中取到．找出m，n滿足的不等式然后求解．

解答： 解：由線性規(guī)劃的特性可知，z=mx+ny的最值一定在端點即A，B，C三點之中取到，
所以

-2m+2n≤6 2m+n≤6 -2m-2n≤6

，
化簡得：

m-n≥-3 2+n≤6 m+n≥-3

，

設k=mn，則n=

k

m

，
當k＞0時，n=

k

m

與2m+n=6相切時k最大，
設切點（a，b），
n′=-

k

m2

，
∴

- k a =-2 2a+b=6 b= k a

，
解得：

a= 3 2 b=3 k= 9 2

，
此時k=

9

2

；
當k＜0時，n=

k

m

在A點是最小，
A為

m+n=-3 2m+n=6

的交點（9，-12），
此時k=9×（-12）=-108，
故答案為：-108≤mn≤

9

2

．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的有關知識，本題是mn的最值，需轉(zhuǎn)化求解．