Question

設0＜x₁＜x₂＜

π

2

．
（Ⅰ）證明：x₁＞sinx₁
（Ⅱ）x₁sinx₂cosx₁＞x₂sinx₁cosx₂．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）構造函數(shù)f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

），利用導數(shù)證明其為增函數(shù)，則結論可證；
（Ⅱ）構造函數(shù)g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

），利用導數(shù)證明其為增函數(shù)，則結論可證．

解答： 證明：（Ⅰ）令f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

），
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx （0＜x＜

π

2

）為增函數(shù)，
∵0＜x₁＜

π

2

，
∴f（x₁）＞f（0），即x₁-sinx₁＞0，
∴x₁＞sinx₁；
（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

），
則g′（x）=cotx-xcsc²x=

sinxcosx-x

sin2x

＜0，
∴g（x）=xcotx （0＜x＜

π

2

）為減函數(shù)，
∵0＜x₁＜x₂＜

π

2

，
則x1

cosx1

sinx1

＞x2

cosx2

sinx2

，即x₁sinx₂cosx₁＞x₂sinx₁cosx₂．

點評：本題考查了綜合法證明三角不等式，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是中檔題．