Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使x∈[m，n]時，函數(shù)f（x）的最大值為3n、最小值為3m，如果存在，求出 m、n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到a，b的方程解之；
（2）假設(shè)存在，討論對稱軸與m，n的關(guān)系，決定求值．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且方程f（x）+x=0有等根．
∴

b

2a

=1，由方程有兩個相等實根，得△=（b+1）²-4a×0=0，
∴b=-1，a=-

1

2

故f（x）=-

1

2

x²-x；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m、n滿足條件，由（1）知，
f（x）=-

1

2

x²-x=-

1

2

（x+1）²+

1

2

≤

1

2

，則3n≤

1

2

，即n≤

1

6

，
∵f（x）=-

1

2

（x+1）²+

1

2

的對稱軸為x=-1，
∴當(dāng)n≤

1

6

時，
①當(dāng)m＜n≤-1時，f（x）為增函數(shù)
∴f（m）=3m，f（n）=3n
 解得m₁=0，m₂=-8
 n₁=0，n₂=-8，
∵m＜n，∴m=-8，n=0；
 ②當(dāng)m＜-1＜n時，
 函數(shù)f（-1）=-

1

2

+1=

1

2

=3n，解得n=

1

6

，
所以最小值為f（

1

2

）=3m，或者f（m）=3m，
解得m=-

1

12

＞-1（舍去），或者m=-8，m=0（舍去）；
 ③當(dāng)-1≤m＜n≤

1

6

，f（m）=3n，f（n）=3m，
解得m+n=4，與-1≤m＜n≤

1

6

矛盾．
∴不存在-1≤m＜n≤

1

6

，
綜上所述
m=-8，n=0或者m=-8，n=

1

6

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)閉區(qū)間的最值問題，注意正確分類討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．