在三棱錐A-BCD中，AD⊥BC且AB+BD=AC+CD．給出下列命題：
①分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高，則這兩條高所在直線異面；
②分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高，則這兩條高相等；
③AB=AC且DB=DC；
④∠DAB=∠DAC．
其中正確的命題有
 
．
考點：命題的真假判斷與應用
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：①過B在△ABD中作BO⊥AD，連接CO，運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷①；
②運用空間中橢球的定義，類似平面上橢圓的定義，即可判斷②；
③由直角三角形的勾股定理，結(jié)合②即可判斷③；
④通過三角形的全等知識，即可判斷④．
解答： 解：①過B在△ABD中作BO⊥AD，垂足為O，連接CO，
由于AD⊥BC，又AD⊥BO，
故AD⊥平面BCO，則AD⊥CO，
即CO為邊AD上的高，
顯然BO，CO相交，故①錯；
②在三棱錐A-BCD中，AB+BD=AC+CD＞AD，
則B，C均在以A，D為焦點的橢球上，
由于AD垂直于平面BCO，則AD垂直于BC，
且B，C位于同一緯度，如圖，故BO=CO，故②正確；
③在直角△ABO和直角△ACO中，BO=CO，
由勾股定理得，AB=AC，同理DB=DC，故③正確；
④由②知BO=CO，又AO=AO，由①知∠AOB=∠AOC=90°，
故△ABO≌△ACO（邊角邊），所以∠DAB=∠DAC，故④正確．
故答案為：②③④
點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查平面幾何中的全等知識和勾股定理及運用，考查空間中到兩定點的距離之和為定值的軌跡為橢球，是一道難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，an=
1
n
（n∈N*）．從數(shù)列{an}中選出k（k≥3）項并按原順序組成的新數(shù)列記為{bn}，并稱{bn}為數(shù)列{an}的k項子列．例如數(shù)列
1
2
，
1
3
，
1
5
，
1
8
為{an}的一個4項子列．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{an}的一個3項子列，并使其為等差數(shù)列；
（Ⅱ）如果{bn}為數(shù)列{an}的一個5項子列，且{bn}為等差數(shù)列，證明：{bn}的公差d滿足-
1
8
＜d＜0；
（Ⅲ）如果{cn}為數(shù)列{an}的一個m（m≥3）項子列，且{cn}為等比數(shù)列，證明：c1+c2+c3+…+cm≤2-
1
2m-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
x
+
x-1
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在坐標原點，且以橢圓
x2
8
+
y2
5
=1的右頂點為焦點，則此拋物線的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知盒中有大小相同的3個紅球和t個白球，從盒中一次性取出3個球，取到白球個數(shù)的期望為
6
5
，若每次不放回的從盒中取一個球，一直到取出所有白球時停止抽取，則停止抽取時恰好取到兩個紅球的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下四個命題中：
①為了解600名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為30的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為30；
②直線y=kx與圓（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=1恒有公共點；
③在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（-∞，1）內(nèi)取值的概率為0.15，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.7；
④若雙曲線
x2
4
-y2=k的漸近線方程為y=±
1
2
x，則k=1．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=lg（
1
2
-sinx）的定義域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+4，則a5的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S6＜S7，且S7＞S8，則下列結(jié)論中正確的有
 
．（填序號）
①此數(shù)列的公差d＜0；
②S9＜S6；
③a7是數(shù)列{an}的最大項；
④S7是數(shù)列{Sn}中的最小項．

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