Question

【題目】已知函數(shù)

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若

（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且證明：.

Answer 1

【答案】(1)在和上單調(diào)遞增；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可;

(2)(i)對(duì)求導(dǎo)研究其單調(diào)性,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,其中,再證明,而,,故利用零點(diǎn)存在性定理即可證明恰有兩個(gè)零點(diǎn);

(ii)由(i)可知,且故結(jié)合即可求出,從而得到,再利用不等式(),即可放縮等式,得出結(jié)論.

(1)

,

因此,在和上單調(diào)遞增;

(2)(i),

對(duì)求導(dǎo)得,,

當(dāng)時(shí),,則;

當(dāng)時(shí),令

則在上單調(diào)遞增,

而,

故存在,使,即,

且在上,在上,

因此,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以,

又,則,

而,

,(注:取值不唯一)

恰有兩個(gè)零點(diǎn);

(ii)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn),且,

故由(i)可知,并且有

,

則,

因此,即,

而當(dāng)時(shí),,

下面證明此結(jié)論:

令,求導(dǎo)得,

則在上時(shí),;在上時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因此,

所以,當(dāng)時(shí),

那么對(duì)于有,

可得,而,

即.