【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC,∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= ,
∴AC2+BC2=AB2 , ∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC
(Ⅱ)如圖,以C為原點(diǎn),取AB中點(diǎn)F, 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
設(shè)P(0,0,a)(a>0),則E( ,﹣ , ),
=(1,1,0), =(0,0,a), =( ,﹣ , ),
取 =(1,﹣1,0),則 = =0, 為面PAC的法向量.
設(shè) =(x,y,z)為面EAC的法向量,則 = =0,
即 取x=a,y=﹣a,z=﹣2,則 =(a,﹣a,﹣2),
依題意,|cos< , >|= = = ,則a=2
于是 =(2,﹣2,﹣2), =(1,1,﹣2).
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ,則sinθ=|cos< , >|= = ,
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 .
【解析】(Ⅰ)證明平面EAC⊥平面PBC,只需證明AC⊥平面PBC,即證AC⊥PC,AC⊥BC;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求出面PAC的法向量 =(1,﹣1,0),面EAC的法向量 =(a,﹣a,﹣2),利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ,可求a的值,從而可求 =(2,﹣2,﹣2), =(1,1,﹣2),即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案.
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【題目】綜合題。
(1)已知圓C的圓心是x﹣y+1=0與x軸的交點(diǎn),且與直線x+y+3=0相切,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P(x,y)在圓x2+y2﹣4y+3=0上,求 的最大值.
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【題目】已知數(shù)列{an}中,a2=2,前n項(xiàng)和為 . (I)證明數(shù)列{an+1﹣an}是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè) ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求使不等式 對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值.
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【題目】已知三條不重合的直線 和兩個(gè)不重合的平面 ,下列命題正確的是( )
A.若 , ,則
B.若 , ,且 ,則
C.若 , ,則
D.若 , ,且 ,則
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,線段AD,BD的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn).現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折,則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是( )
A.( , )
B.( , ]
C.( , ]
D.( , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式x2﹣ax﹣2>0的解集為{x|x<﹣1或x>b}(b>﹣1).
(1)求a,b的值;
(2)當(dāng)m>﹣ 時(shí),解關(guān)于x的不等式(mx+a)(x﹣b)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若x>0,則函數(shù) 與y2=logax(a>0,且a≠1)在同一坐標(biāo)系上的部分圖象只可能是( )
A.
B.
C.
D.
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