Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求證：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（I）取AD的中點G，連結(jié)PG、GB、BD，由已知條件推導(dǎo)出PG⊥AD，BG⊥AD，從而得到AD⊥平面PGB，由此能夠證明AD⊥PB．
（II）取PB的中點F，連結(jié)MF，CF，由已知條件推導(dǎo)出四邊形CDMF是平行四邊形，同此能夠證明DM∥平面PCB．
（III）以G為原點，直線GA、GB、GP所在直線為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．

解答： （I）證明：取AD的中點G，連結(jié)PG、GB、BD．
∵PA=PD，∴PG⊥AD…（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，
又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．…（4分）
（II）證明：取PB的中點F，連結(jié)MF，CF，
∵M、F分別為PA、PB的中點，∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD，…（6分）
∴四邊形CDMF是平行四邊形．∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB，
∴DM∥平面PCB．…（8分）
（III）解：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
又∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．
∴直線GA、GB、GP兩兩互相垂直，
故以G為原點，直線GA、GB、GP所在直線為x軸、y軸和z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz．
設(shè)PG=a，則由題意得：P(0，0，a)，A(a，0，0)，B(0，

3

a，0)，D(-a，0，0)，C(-

3

2

a， 

3

2

a， 0)．∴

BC

=(-

3

2

a，-

3

2

a，0)．
設(shè)

n

=(x0，y0，z0)是平面PBC的法向量，
則

n

•

BC

=0且

n

•

PB

=0．
∴

- 3 2 ax0- 3 2 ay0=0 3 ay0-az0=0.

⇒

x0=- 3 3 y0 z0= 3 y0.

取y0=

3

，得

n

=(-1，

3

，3)．
∵M是AP的中點，∴M(

a

2

，0，

a

2

)．
∴

DM

=(

a

2

，0，

a

2

)-(-a，0，0)=(

3

2

a，0，

a

2

)．

DM

•

n

=(

3

2

a，0，

a

2

)•(-1，

3

，3)=0．∴

DM

⊥

n

．
平面PAD的法向量

n1

=

GB

=(0，

3

a，0)，
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角為θ，
則cosθ=|

n • n1

| n |•| n1 |

|=

3a

1+3+9 • 3 a

=

39

13

，…（10分）
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為

39

13

．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．