如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O為AB的中點(diǎn).

(1)求證:OC⊥DF;
(2)求平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大;
(3)求多面體ABC—FDE的體積V.

(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
 
(2)平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為      
(3)

解析試題分析:(1)證法一:FA⊥平面ABC,平面ABC,     2分
又CA=CB且O為AB的中點(diǎn), 平面ABDF,          4分
平面ABDF,        5分
證法二:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,                2分
      5分
(2)解法一:解:設(shè)平面ABC的法向量為            6分

設(shè)平面DEF的法向量為 

解得,           8分
所以,          10分
故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為            11分
解法二:設(shè)平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為,依題中的條件可求得DE=由空間射影定理得故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為             11分
解法三:延長(zhǎng)ED、FD交直線CB、AB于M、N兩點(diǎn),過B點(diǎn)作MN的垂線交MN于Q點(diǎn),連結(jié)DQ,
平面BMN,所以為二面角的平面角,
,故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為      11分
(3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC,
 
         14分
所以多面體ABC—FDE的體積為解法二:在原來(lái)的幾何體再補(bǔ)一個(gè)相同的幾何體得到一個(gè)直三棱柱,其底面為ABC,高為4,
所以多面體ABC—FDE的體積所以多面體ABC—FDE的體積為
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角及體積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在長(zhǎng)方體中,,過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后,得到如圖所示的幾何體,且這個(gè)幾何體的體積為

(1)求棱的長(zhǎng);
(2)若的中點(diǎn)為,求異面直線所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直底面)中,M、N分別是BC、AC1中點(diǎn),AA1=2,AB=,AC=AM=1.

(1)證明:MN∥平面A1ABB1
(2)求幾何體C—MNA的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,是半圓的直徑,是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),垂直于半圓所在的平面, ,,

⑴證明:平面平面;
⑵當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖甲,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點(diǎn)
平面上的射影恰好在上.

(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)。
求證:

(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC平面BDE

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知為平行四邊形,,,,點(diǎn)上,,,相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點(diǎn)在平面上的射影恰在直線上.

(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求折后直線與平面所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,三棱柱中,
,的中點(diǎn),且

(1)求證:∥平面;
(2)求與平面所成角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

直三棱柱中,,,、分別為、的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求四面體的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案