Question

直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四面體的體積．

Answer 1

(Ⅰ)先證AB⊥平面BB₁C₁C.又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點(diǎn)，證出NF⊥平面BB₁C₁C. NF⊥FC .
證得FC⊥平面NFB.  
(Ⅱ)．

解析試題分析：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,
B₁B⊥AB, BC⊥AB,又B₁BBC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C.
又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點(diǎn)
∴AB∥A₁B₁∥NF.
∴NF⊥平面BB₁C₁C.
因?yàn)镕C平面BB₁C₁C.所以NF⊥FC .
取BC中點(diǎn)G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NFFB=F，
∴FC⊥平面NFB.           7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,

．            14分
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，體積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，若利用向量則可簡(jiǎn)化證明過程。（2）體積計(jì)算中，運(yùn)用了“等積法”。