Question

已知以點(diǎn)C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．

(1)求證：△AOB的面積為定值；

(2)設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；

(3)在(2)的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動點(diǎn)，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）見解析（2）(x－2)2＋(y－1)2＝5.（3）

【解析】(1)由題設(shè)知，圓C的方程為(x－t)2＋2＝t2＋，化簡得x2－2tx＋y2－y＝0，當(dāng)y＝0時，x＝0或2t，則A(2t,0)；當(dāng)x＝0時，y＝0或，則B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4為定值．

(2)∵|OM|＝|ON|，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CH⊥MN，∴C，H，O三點(diǎn)共線，則直線OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圓心為C(2,1)或(－2，－1)，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于當(dāng)圓方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝5時，直線2x＋y－4＝0到圓心的距離d>r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.

(3)點(diǎn)B(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點(diǎn)為B′(－4，－2)，則|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|B′C|－r＝－＝3－＝2.

所以|PB|＋|PQ|的最小值為2，直線B′C的方程為y＝x，則直線B′C與直線x＋y＋2＝0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.