Question

【題目】為了調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，新苗中學數學教師對新入學的名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于小時的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數學成績不足分的占，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：

	分數大于等于分	分數不足分	合計
周做題時間不少于小時		4	19
周做題時間不足小時
合計			45

（）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數大于等于分和分數不足分的兩組學生中抽取名學生，設抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數為，求的分布列（概率用組合數算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數的期望和方差．

附：

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) （i）見解析 （ii）見解析

【解析】

（1）根據比例計算每周自主做數學題的時間不足15小時，且數學分數不足120分的人數，再根據合計數填表。

（2）（i）由分層抽樣知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值為，，，，．即可列出分布列。

（ii）根據二項分布的性質即可計算

（）

	分數大于等于分	分數不足分	合計
周做題時間不少于小時			19
周做題時間不足小時			26
合計			45

∵．

∴能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”．

（）（i）由分層抽樣知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值為，，，，．

， ，

， ， ．

則分布列為

X	0	1	2	3	4
P

（ii）設從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，這些人中，周做題時間不少于小時的人數為隨機變量，

由題意可知，

故，．