【題目】已知函數(shù)，．

（）若函數(shù)的最小值為，求的值．

（）證明：．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題（1）由題意得，的最小值問題，需要借助于導數(shù)，對比極值與端點值確定，而由最值也可確定出未知量；（2）借助第一問，將問題轉化成最常見的形式：.

試題解析：（1）的定義域為，且.若，則，于是在上單調遞增，故無最小值，不合題意，若，則當時，;當時，.故在上單調遞減，在上單調遞增.于是當時，取得最小值.由已知得, 解得.綜上，.

（2）①下面先證當時，.因為, 所以只要證.由（1）可知, 于是只要證，即只要證, 令，則,當時，, 所以在單調遞增，所以當時，，即，故當時，不等式成立 .② 當時，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因為, 所以,所以

,綜上，不等式

成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，且，．

（1）證明：平面；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點，.

（1）求證：平面；

（2）若，，點在側棱上，且，二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】即將于年夏季畢業(yè)的某大學生準備到貴州非私營單位求職，為了了解工資待遇情況，他在貴州省統(tǒng)計局的官網上，查詢到年到年非私營單位在崗職工的年平均工資近似值（單位：萬元），如下表：

年份

序號

年平均工資

（1）請根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，利用線性回歸模型擬合思想，求關于的線性回歸方程（，的計算結果根據(jù)四舍五入精確到小數(shù)點后第二位）；

（2）如果畢業(yè)生對年平均工資的期望值為8.5萬元，請利用（1）的結論，預測年的非私營單位在崗職工的年平均工資（單位：萬元。計算結果根據(jù)四舍五入精確到小數(shù)點后第二位），并判斷年平均工資能否達到他的期望.

參考數(shù)據(jù)：，，

附：對于一組具有線性相關的數(shù)據(jù)：，，，，

其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為

，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了調查高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，新苗中學數(shù)學教師對新入學的名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數(shù)學題的時間不少于小時的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學成績不足分的占，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：

分數(shù)大于等于分

分數(shù)不足分

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

（）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有關”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數(shù)大于等于分和分數(shù)不足分的兩組學生中抽取名學生，設抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數(shù)為，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數(shù)的期望和方差．

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】圓與軸交于、兩點（點在點的左側），、是分別過、點的圓的切線，過此圓上的另一個點（點是圓上任一不與、重合的動點）作此圓的切線，分別交、于、兩點，且、兩直線交于點．

（）設切點坐標為，求證：切線的方程為．

（）設點坐標為，試寫出與的關系表達式（寫出詳細推理與計算過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是由容量為100的樣本得到的頻率分布直方圖．其中前4組的頻率成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a，在到之間的數(shù)據(jù)個數(shù)為b，則a，b的值分別為（ ）

A.，78

B.，83

C.，78

D.，83

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某單位全體員工年齡頻率分布表為：

年齡（歲）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

[40，45）

[45，50）

[50，55）

合計

人數(shù)（人）

6

18

50

31

19

16

140

經統(tǒng)計，該單位35歲以下的青年職工中，男職工和女職工人數(shù)相等，且男職工的年齡頻率分布直方圖和如圖所示：

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求該單位男女職工的比例；

（Ⅲ）若從年齡在[25，30）歲的職工中隨機抽取兩人參加某項活動，求恰好抽取一名男職工和一名女職工的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線：的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標．

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