Question

【題目】如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN和PB是兩條面對角線，請?jiān)趫D（2）的正方體中將MN和PB畫出來，并就這個(gè)正方體解決下面問題。

（1）求證：MN∥平面PBD；

（2）求證：平面；

（3）求PB和平面NMB所成的角的大�。�

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

由展開圖還原出原圖形，由正方體可證MN//DB,進(jìn)一步證明MN∥平面PBD。通過證明平面,可證，同理可得，所以面PDB。連結(jié)BE,則為PB和平面NMB所成的角。

MN和PB的位置如右圖示：

（1）∵ND∥MB 且ND＝MB，∴四邊形NDBM為平行四邊形

∴MN//DB

∵平面PDB,平面PDB

∴MN∥平面PBD

（2）∵平面ABCD，平面，∴

又∵ ∴平面,

面 ∴,同理可得,∵

∴面PDB

（3）連結(jié)PQ交MN于點(diǎn)E,

∵ ,

∴平面

連結(jié)BE,則為PB和平面NMB所成的角

在直角三角形PEB中∵ ∴=30°.

即PB和平面NMB所成的角為30°