Question

【題目】在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點在線段上，且．

（）求證：．

（）求證：平面．

（）設平面平面，試問：直線是否與直線平行，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據正三角形性質得，再根據線面垂直性質得，由線面垂直判定定理得平面，即得．（2）根據計算得，根據比例關系得，再根據線面平行判定定理得結論，（3）先假設直線，根據線面平行判定定理得平面，再根據線面平行性質定理得，與題意矛盾，否定假設.

試題解析：（）證明：∵是正三角形，是中點，

∴，即，

又∵平面，平面，

∴．

又，

∴平面，

∵平面，

∴．

（）在正三角形中，，

在中，為中點，，

所以，，

所以，

所以．

在等腰直角三角形中，，，

∴，

又平面，平面，

∴平面．

（）假設直線，

∵平面，平面，

∴平面，

又平面，平面平面，

∴，

這與與不平行相矛盾，假設不成立．

∴直線與直線不平行．

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.