Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線與軸平行，求的極值；

（2）當或時，試討論方程實數(shù)根的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值（2）當時，方程沒有實數(shù)根；當時，方程有1個實數(shù)根

【解析】

（1），，根據(jù)在處的切線與軸平行，則，解得，然后求極值.

（2）將方程實數(shù)根的個數(shù)，轉化為實數(shù)根的個數(shù)，令，轉化為函數(shù)的零點問題，分， ，，三種情況，利用導數(shù)法進行分類討論.

（1），，

由條件可得，解之得，

，，

令可得或（舍去）.

當時，；當時，.

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故有極大值，無極小值；

（2）設，

則.

①當時，，當時，，當時，，

故有極大值，此時，方程沒有實數(shù)根；

②當時，由可得*

由可知，*有兩個實數(shù)根，

不妨設為，

則，則必有，

且當時，當時，，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故有極大值，

方程沒有實數(shù)根.

③當時，，，即在上單調(diào)遞增，

，，，

設，易得在上遞減，且，故.

當時，，

，

即，方程有1個實數(shù)根.

綜上可知，當時，方程沒有實數(shù)根，

當時，方程有1個實數(shù)根.