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16.如圖,四面體ABCD中,各棱相等,M是CD的中點,則直線BM與平面ABC所成角的正弦值為(  )
A.23B.12C.63D.23

分析 過A作AO⊥平面BCD,交BM于O,以O(shè)為原點,過O在平面BCD內(nèi)平行于DC的直線為x軸,OM為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線BM與平面ABC所成角的正弦值.

解答 解:過A作AO⊥平面BCD,交BM于O,設(shè)AB=2,
∵四面體ABCD中,各棱相等,M是CD的中點,
∴OA、OD、OM兩兩垂直,OB=23BM=2341=233,
OM=13BM=1341=33,AO=443=263,
以O(shè)為原點,過O在平面BCD內(nèi)平行于DC的直線為x軸,OM為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,-233,0),M(0,33,0),A(0,0,263),C(1,33,0),
BM=(0,3,0),AB=(0,-233,-263),AC=(1,33,-263),
設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z),
{nAB=233y263z=0nAC=x+33y263z=0
取z=1,得n=(6,-2,1),
設(shè)直線BM與平面ABC所成角為θ,
則sinθ=|cos<BMn>|=|BMn|BM||n||=|63×9|=23
∴直線BM與平面ABC所成角的正弦值為23
故選:D.

點評 本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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