Question

(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx, g(x)＝ax，(a為常數(shù))，若f(x)≥g(x)，對x∈[0, ]恒成立。

（1）求a的最大值；

（2）對任意的銳角三角形ABC，均有sinA＋sinB＋sinC＞M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍．

Answer 1

（1）a的最大值為;（2）M≤2.

【解析】

試題分析：（1）f(x)≥g(x)對x∈[0, ]恒成立,轉(zhuǎn)化成sinx≥ax對x∈[0, ]恒成立.

當(dāng)x＝0時，sinx≥ax恒成立；

當(dāng)x∈(0, ]時，等價于a≤恒成立.

設(shè), x∈(0, ],求得

設(shè)(x)＝xcosx－sinx，則對x∈(0, ]恒成立，

根據(jù)(x)在(0, ]上單調(diào)遞減，得到(x)min＜(0)＝0，即xcosx－sinx＜0，

得到在(0, ]上恒成立，h(x) 在(0, ]上單調(diào)遞減，由h(x)min＝h()＝即得.

（2）由（1）知，當(dāng)x∈(0, )時，有sinx＞x成立，所以對任意銳角△ABC，有

sinA＋sinB＋sinC＞(A＋B＋C)=2,因此M≤2.

試題解析：（1）f(x)≥g(x)對x∈[0, ]恒成立

即sinx≥ax對x∈[0, ]恒成立

當(dāng)x＝0時，sinx≥ax恒成立 1分

當(dāng)x∈(0, ]時，等價于a≤恒成立 2分

設(shè)h(x)＝, x∈(0, ]

則h ' (x)＝

設(shè)(x)＝xcosx－sinx，則 ' (x)＝－xsinx＜0對x∈(0, ]恒成立，

∴(x)在(0, ]上單調(diào)遞減，

(x)min＜(0)＝0，即xcosx－sinx＜0，

∴h ' (x)＞0在(0, ]上恒成立，

∴h(x) 在(0, ]上單調(diào)遞減

∴h(x)min＝h()＝ 7分

所以a≤，a的最大值為 8分

（2）由（1）知，當(dāng)x∈(0, )時，有sinx＞x成立，所以對任意銳角△ABC，有

sinA＋sinB＋sinC＞(A＋B＋C)

∵A＋B＋C＝π， ∴sinA＋sinB＋sinC＞2，

所以M≤2 12分

考點：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.不等式恒成立問題；3.等價轉(zhuǎn)化思想.