Question

如圖是一塊鍍鋅鐵皮的邊角料ABCD，其中AB、CD、DA都是線段，曲線段BC是拋物線的一部分，且點(diǎn)B是該拋物線的頂點(diǎn)，BA所在直線是該拋物線的對稱軸，經(jīng)測量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，點(diǎn)C到AD、AB的距離CH、CR的長均為1米，現(xiàn)要用這塊邊角料截一個(gè)矩形AEFG（其中點(diǎn)F在曲線段BC或線段CD上，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)G在線段AB上）．設(shè)BG的長為x米，矩形AEFG的面積為S平方米．
（1）將S表示為x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為多少米時(shí)，S取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意先根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)給出來，代入方程求出p的值，然后分兩段表示出S的值．
（2）按照分段函數(shù)求最值的方法，在兩段上分別求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后求最值．后一段是二次函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)曲線段BC所在拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
將點(diǎn)C（1，1）代入，得2p=1．所以曲線段BC的方程為y=

x

（0≤x≤1）．
又由點(diǎn)C（1，1），D（2，3）得線段CD的方程為y=2x-1（1≤x≤2），
而GA=2-x，所以S=

x (2-x)，0≤x≤1 (2x-1)(2-x)，1＜x＜2

，
（2）①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，因?yàn)?span id="jzvy70h" class="MathJye">S=

x

(2-x)=2x

1

2

-x

3

2

，
所以S′=x-

1

2

-

3

2

x

1

2

=

2-3x

2 x

，令S′=0得x=

2

3

．
當(dāng)x∈(0，

2

3

)時(shí)，S′＞0，所以此時(shí)S遞增；
當(dāng)x∈(

2

3

，1)時(shí)，S′＜0，所以此時(shí)S遞減，所以當(dāng)x=

2

3

時(shí)，Smax=

4 6

9

．
②當(dāng)1＜x＜2時(shí)，因?yàn)?span id="rqh4uv2" class="MathJye">S=(2x-1)(2-x)=-2(x-

5

4

)2+

9

8

．
所以當(dāng)x=

5

4

時(shí)，Smax=

9

8

．
綜上，因?yàn)?span id="dmsp1hw" class="MathJye">

9

8

＞

4 6

9

，所以當(dāng)x=

5

4

米時(shí)，Smax=

9

8

cm2．
答：當(dāng)x取值為

5

4

米時(shí)，矩形AEFG的面積最大為

9

8

cm2．

點(diǎn)評：本題充分考查了分段函數(shù)的應(yīng)用性問題，要注意抓住題目中的等量關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，然后分兩段研究其最值．