Question

已知數(shù)列a＞0，b＞0，a₁=1，前P項(xiàng)和S_n=

n+1

2

an
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

an

an-1

=

n

n-1

，由此利用累乘法得

an

a1

=n，從而a_n=n．
（2）設(shè)數(shù)列數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和T_n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵Sn=

n+1

2

an∴Sn-1=

n

2

an-1(n≥2)，
∴an=

n+1

2

an-

n

2

an-1，
即：

an

an-1

=

n

n-1

，
∴

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

…

an

an-1

=

n

n-1

，
累乘得：

an

a1

=n，
∵a₁=1，
∴a_n=n．
（2）設(shè)數(shù)列數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和T_n，
則Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+(n-1)(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，
兩式相減得：

1

2

Tn=(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 •[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(1+

n

2

)(

1

2

)n，
∴Tn=2-(n+2)(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．