Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：對任意的，函數(shù)的圖像與直線最多有一個交點；

（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的圖像至少有一個交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化后為方程的解的個數(shù)討論問題，針對參數(shù)b和兩種情況進行討論，研究圖象的交點個數(shù)；當(dāng)研究對數(shù)方程時，利用同底對數(shù)相等，只需真數(shù)大于零且相等，令轉(zhuǎn)化為二次方程的根的分布問題，根據(jù)判別式等要求，列不等式求解.

試題解析：

（1）證明：原問題等價于解的討論.

因為，即.

當(dāng)時，方程無解，即兩圖像無交點；

當(dāng)時，方程有一解，即兩圖像有一個交點，得證.

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像至少有一個交點，等價于方程

至少有一個解.即.

設(shè)，即方程至少有一個正解.

當(dāng)時，即

∵ ∴不符合題意

當(dāng)時，方程有一個正解，符合題意.

當(dāng)時，即.此時方程有兩個不同的正解.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.

轉(zhuǎn)化成.利用函數(shù)單調(diào)性也可以處理.