Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=1，AC=

2

．如圖，從由任何二個(gè)頂點(diǎn)確定的向量中任取兩個(gè)向量，記變量X為所取兩個(gè)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值．
（1）當(dāng)PA=2時(shí)，求P（X=4）的值．
（2）當(dāng)PA=1時(shí)，求變量X的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）以CA為x軸，CB為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，得到由任何二個(gè)頂點(diǎn)確定的向量的個(gè)數(shù)為

C

2 6

=15，其中X=4的有|

AP

•

PB

|，|

AP

•

PC

|，共2個(gè)，由此能求了P（X=4）=

2

15

．
（2）PA=1時(shí)，用列舉法寫出所有的15個(gè)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值，得到X的取值為0，1，2，3，由此能求出變量X的分布列與期望．

解答： 解：（1）PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
BC=1，AC=

2

，PA=2，
以CA為x軸，CB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
A（

2

，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
P（

2

，0，2），
∴

AB

=(-

2

，1，0)，

AC

=(-

2

，0，0)，

AP

=(0，0，2)，

PB

=(-

2

，1，-2)，

CB

=(0，1，0)，

CP

=(

2

，0，2)，
由任何二個(gè)頂點(diǎn)確定的向量的個(gè)數(shù)為

C

2 6

=15，
其中X=4的有|

AP

•

PB

|，|

AP

•

PC

|，共2個(gè)，
∴P（X=4）=

2

15

．
（2）PA=1時(shí)，A（

2

，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
P（

2

，0，1），
∴

AB

=(-

2

，1，0)，

AC

=(-

2

，0，0)，

AP

=(0，0，1)，

PB

=(-

2

，1，-1)，

CB

=(0，1，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
|

AB

•

AC

|=2，|

AB

•

AP

|=0，|

AB

•

PB

|=3，|

AB

•

CB

|=1，|

AB

•

CP

|=2，
|

AC

•

AP

|=0，|

AC

•

PB

|=2，|

AC

•

CB

|=0，|

AC

•

CP

|=2，|

AP

•

PB

|=1，
|

AP

•

CB

|=0，|

AP

•

CP

|=1，|

PB

•

CB

|=1，|

PB

•

CP

|=3，|

CB

•

CP

|=0．
∴X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

5

15

，P（X=1）=

4

15

，P（X=2）=

4

15

，P（X=3）=

2

15

，
∴X的分布列為：

P	0	1	2	3
X	5 15	4 15	4 15	2 15

EX=1×

4

15

+2×

4

15

+3×

2

15

=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．