Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

1

2

(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1時(shí)取得極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）依題意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b由于x=1為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則f′（1）=0，得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜

1

a

，②當(dāng)a＞1時(shí)，

1

a

＜1，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．

解答： 解：（1）依題意，得f′（x）=ax²-（a+1）x+b
由于x=1為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
則f′（1）=0，
解得b=1．
（2）由（1）得；f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜

1

a

，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集為1＜x＜

1

a

；  
②當(dāng)a＞1時(shí)，

1

a

＜1，
令f′（x）＜0，
∴不等式的解集為

1

a

＜x＜1；      
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，

1

a

）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．